6091. Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально противоположных точек описанной окружности треугольника перпендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти точек.
Решение. Лемма 1. Если M
— точка окружности, описанной около треугольника ABC
, а прямая, проходящая через M
перпендикулярно BC
, вторично пересекает окружность в точке N
, то прямая Симсона, соответствующая точке M
, параллельна прямой AN
.
Доказательство. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке 1 (точка M
лежит на дуге, не содержащей точки A
, точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой MN
, точка C
— по другую). Пусть M_{1}
, M_{2}
и M_{3}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на прямые AB
, AC
и BC
соответственно. Тогда точки M_{1}
, M_{2}
и M_{3}
лежат на одной прямой — прямой Симсона (см. задачу 83), а точка M_{3}
— на прямой MN
.
Вписанные углы ANM
и ACM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ANM=\angle ACM
. Из точек M_{2}
и M_{3}
отрезок CM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MC
, поэтому четырёхугольник CM_{2}M_{3}M
— вписанный. Тогда
\angle NM_{3}M_{2}=180^{\circ}-\angle MM_{3}M_{2}=\angle MCM_{2}=\angle ACM=\angle ANM.
Следовательно, AN\parallel M_{2}M_{3}
. Аналогично для остальных случаев. Лемма доказана.
Лемма 2. Угол между прямыми Симсона, соответствующими двум точкам описанной окружности треугольника, равен половине дуги между этими точками.
Доказательство. Пусть P
— ещё одна точка, лежащая на описанной окружности треугольника ABC
(рис. 2), P_{1}
— основание перпендикуляра, опущенного из P
на прямую BC
, Q
— отличная от P
точка пересечения прямой PP_{1}
с окружностью. Тогда по доказанному прямые Симсона точек M
и P
соответственно параллельны прямым AN
и AQ
. Значит, угол между этими прямыми Симсона равен углу между прямыми AN
и AQ
, т. е. вписанному углу NAQ
, равному половине дуги NQ
, на которую этот угол опирается. Поскольку дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, угол NAQ
равен половине дуги MP
. Лемма доказана.
Пусть теперь M
и P
— диаметрально противоположные точки описанной окружности треугольника ABC
(рис. 3). Поскольку \smile MP=180^{\circ}
, из леммы 2 следует, что угол между прямыми Симсона точек M
и P
равен 90^{\circ}
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, E
, F
и G
— середины сторон BC
, AC
и AB
соответственно, A_{1}
и A_{2}
— проекции точек соответственно M
и P
на прямую BC
, B_{1}
и B_{2}
— проекции точек соответственно M
и P
на прямую AC
, X
— точка пересечения прямых A_{1}B_{1}
и A_{2}B_{2}
(прямых Симсона точек M
и P
).
Точка E
— проекция точки O
(середины диаметра MP
) на прямую BC
, поэтому E
— середина проекции A_{1}A_{2}
диаметра MP
на эту прямую. Значит, XE
— медиана прямоугольного треугольника A_{1}XA_{2}
, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому \angle A_{1}XE=\angle XA_{1}E
(см. задачу 1109). Аналогично \angle B_{1}XF=\angle XB_{1}F
. Следовательно,
\angle EXF=180^{\circ}-\angle A_{1}XE-\angle B_{1}XF=180^{\circ}-\angle XA_{1}E-\angle XB_{1}F=
=\angle A_{1}CB_{1}=\angle ACB=\angle EGF.
Из точек X
и G
отрезок EF
виден под одним и тем же углом, значит, точка X
лежит на окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC
, т. е. на окружности девяти точек этого треугольника.
Аналогично для любого положения точек M
и P
.
Примечание. Разбора случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы.