6101. Пусть K
— точка, симметричная центру описанной около треугольника ABC
окружности относительно прямой BC
. Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC
делит отрезок AK
пополам.
Решение. Пусть M
— середина стороны BC
треугольника ABC
, H
— точка пересечения высот, O
— центр описанной окружности. Тогда прямая OH
— прямая Эйлера треугольника ABC
(см. задачу 5044), а так как расстояние от точки пересечения высот треугольника до его вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны (см. задачу 1257), то AH=2OM=OK
.
Пусть P
— точка пересечения прямых OH
и AK
. Треугольники APH
и KPO
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, следовательно, PH=PO
. Что и требовалось доказать.