6102. Дан равнобедренный треугольник ABC
с углом 12^{\circ}
между боковыми сторонами AB
и AC
. Точки D
и E
лежат на сторонах AC
и AB
соответственно, причём \angle CBD=42^{\circ}
и \angle BCE=18^{\circ}
. Докажите, что \angle EDB=12^{\circ}
.
Решение. Положим AB=AC=1
. Высота равнобедренного треугольника, проведённая из вершины A
, является медианой и биссектрисой, поэтому BC=2\sin6^{\circ}
.
Пусть прямая, проведённая через точку C
перпендикулярно AC
, пересекает прямую AB
в точке F
, а прямая, проведённая через точку E
перпендикулярно AC
, пересекает прямую AC
в точке G
. Тогда
\angle AFC=90^{\circ}-12^{\circ}=78^{\circ}.
Поскольку
\angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-12^{\circ})=84^{\circ},
то
\angle FEC=\angle BEC=180^{\circ}-84^{\circ}-18^{\circ}=78^{\circ}=\angle AFC=\angle EFC.
Тогда из равнобедренного треугольника ECF
и прямоугольного треугольника ACF
получаем
CE=CF=AC\tg\angle BAC=\tg12^{\circ}.
Кроме того,
\angle ACE=90^{\circ}-\angle ECF=90^{\circ}-(180^{\circ}-2\cdot78^{\circ})=66^{\circ},
\angle DBE=\angle CBE-\angle CBD=84^{\circ}-42^{\circ}=42^{\circ},
поэтому BD
— биссектриса треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 1509)
CD=\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB+BC}=\frac{2\sin6^{\circ}}{1+2\sin6^{\circ}}=\frac{\sin6^{\circ}}{\frac{1}{2}+\sin6^{\circ}}=
=\frac{\sin6^{\circ}}{\sin30^{\circ}+\sin6^{\circ}}=\frac{\sin6^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\cos12^{\circ}}.
Докажем теперь, что GC=GD
, или CG=\frac{1}{2}CD
. Действительно,
GC=\frac{1}{2}CD~\Leftrightarrow~EC\cos66^{\circ}=\frac{1}{2}CD~\Leftrightarrow~CF\cos66^{\circ}=\frac{1}{2}CD~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\tg12^{\circ}\cos66^{\circ}=\frac{1}{2}CD~\Leftrightarrow~\tg12^{\circ}\cos66^{\circ}=\frac{\sin6^{\circ}}{4\sin18^{\circ}\cos12^{\circ}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~4\sin12^{\circ}\sin18^{\circ}\sin24^{\circ}=\sin6^{\circ}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~8\cos6^{\circ}\sin18^{\circ}\sin24^{\circ}=1~\Leftrightarrow~4\sin18^{\circ}\cdot(2\sin24^{\circ}\cos6^{\circ})=1~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~4\sin18^{\circ}(\sin30^{\circ}+\sin18^{\circ})=1~\Leftrightarrow~2\sin18^{\circ}+4\sin^{2}18^{\circ}=1~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.
Последнее равенство верно (см. задачу 1494). Значит, CG=GD
, поэтому треугольник CDE
равнобедренный. Следовательно,
\angle EDB=\angle EDC-\angle BDC=\angle ECD-(\angle BAC+\angle DBE)=
=66^{\circ}-(12^{\circ}+42^{\circ})=12^{\circ}
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1989, № 6, задача 1346 (1988, с. 141), с. 190