6294. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и CC_{1}
. На высоте AA_{1}
выбрана точка D
, для которой A_{1}D=C_{1}D
. Точка E
— середина стороны AC
. Докажите, что точки A
, C_{1}
, D
и E
лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Из точек A_{1}
и C_{1}
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Середина E
стороны AC
— центр этой окружности, EA_{1}
и EC_{1}
— радиусы, A_{1}EC_{1}
— центральный угол, A_{1}AC_{1}
— вписанный угол.
Поскольку DA_{1}=DC_{1}
и EA_{1}=EC_{1}
, точки D
и E
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку A_{1}C_{1}
. Поэтому
\angle C_{1}ED=\frac{1}{2}\angle C_{1}EA_{1}=\angle A_{1}AC_{1}=\angle DAC_{1},
т. е. из точек E
и A
, лежащих по одну сторону от прямой DC_{1}
, отрезок DC_{1}
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки A
, C_{1}
, D
и E
лежат на одной окружности.
Второй способ. Обозначим \angle AA_{1}C_{1}=\alpha
. Треугольник A_{1}DC_{1}
равнобедренный, значит, по теореме о внешнем угле треугольника \angle ADC_{1}=2\alpha
. Кроме того, \angle BAC=\angle BA_{1}C_{1}
(см. задачу 19), а EC_{1}
— медиана прямоугольного треугольника AC_{1}C
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, треугольник AEC_{1}
равнобедренный, и
\angle AEC_{1}=180^{\circ}-2\angle BAC=180^{\circ}-2\angle BA_{1}C_{1}=180^{\circ}-2(90^{\circ}-\alpha)=2\alpha=\angle ADC_{1}.
Из точек E
и D
, расположенных по одну сторону от прямой AC_{1}
, отрезок AC_{1}
виден под одним и тем же углом, следовательно, точки A
, C_{1}
, D
и E
лежат на одной окружности (см. задачу 12).