6301. В треугольнике ABC
(AB\gt BC
) проведены медиана BM
и биссектриса BL
. Прямая, проходящая через точку M
параллельно AB
, пересекает BL
в точке D
, а прямая, проходящая через L
параллельно BC
, пересекает BM
в точке E
. Докажите, что прямые ED
и BL
перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Проведём через точку E
прямую, параллельную AB
. Пусть она пересекает BL
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Поскольку QE
и EL
параллельны сторонам AB
и BC
соответственно, то по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{MQ}{MA}=\frac{ME}{MB}=\frac{ML}{MC},
поэтому
\frac{MQ}{ML}=\frac{MA}{MC}=1.
Аналогично, поскольку MD\parallel PQ
, то
\frac{MQ}{ML}=\frac{DP}{DL}=1,
т. е. ED
— это медиана в треугольнике PEL
. Однако из параллельности EP
и EL
сторонам AB
и BC
соответственно следует равенство углов
\angle EPL=\angle ABL,~\angle ELP=\angle LBC,
но \angle ABL=\angle LBC
, поэтому \angle EPL=\angle ELP
. Тем самым, треугольник LEP
— равнобедренный, и медиана ED
является высотой. Что и требовалось.
Второй способ. Пусть прямая, проведённая через точку M
параллельно AB
, пересекает сторону BC
в точке N
, а биссектрису BL
— в точке P
. Тогда N
— середина стороны BC
, а так как
\angle PDL=\angle MDL=\angle ABL=\angle CBL=\angle PLD,
то треугольник PDL
равнобедренный, DP=PL
.
Поскольку MN
— медиана треугольника BMC
, точка P
— середина отрезка EL
, параллельного BC
. Значит (см. задачу 2607), P
— середина отрезка EL
. Таким образом, DP=PL=PE
. Следовательно (см. задачу 1188), треугольник EDL
прямоугольный, и \angle EDL=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.