6398. Докажите, что для любого прямоугольного треугольника радиус окружности, касающейся его катетов и описанной окружности (изнутри), равен диаметру вписанной окружности.
Решение. Первый способ. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
с катетами BC=a
, AC=b
, гипотенузой AB=c
и радиусом r
вписанной окружности. Тогда r=\frac{a+b-c}{2}
(см. задачу 217).
Пусть N
— середина катета AC
, окружность с центром Q
и радиусом x
, вписанная в угол ACB
, касается катета AC
в точке M
, а окружности с центром O
, описанной около треугольника ABC
, — в точке P
(O
— середина AB
). Тогда
\angle MCQ=45^{\circ},~CM=QM=x,~ON=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2},~MN=|CN-CM|=\left|\frac{b}{2}-x\right|,
а так как линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, то OQ=OP-QP=\frac{c}{2}-x
.
Опустим перпендикуляр OH
из центра описанной окружности на QM
. Тогда
OH=MN=\left|\frac{b}{2}-x\right|,~QH=QM-ON=x-\frac{a}{2}.
По теореме Пифагора OQ^{2}=OH^{2}+QH^{2}
, или
\left(\frac{c}{2}-x\right)^{2}=\left(\frac{b}{2}-x\right)^{2}+\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}~\Leftrightarrow~\frac{c^{2}}{4}-cx+x^{2}=\frac{b^{2}}{4}-bx+x^{2}+x^{2}-ax+\frac{a^{2}}{4}.
С учётом того, что a^{2}+b^{2}=c^{2}
получим, что x=a+b-c=2r
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть r
— радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине C
, r_{1}
— искомый радиус. Тогда (см. задачу 11076)
r_{1}=\frac{r}{\cos^{2}\frac{1}{2}\angle C}=\frac{r}{\cos^{2}45^{\circ}}=2r.
Что и требовалось доказать.