6431. В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB
и CD
. Из точки M
, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую AB
в точках E
и H
, а также прямые MC
и MD
, пересекающие прямую AB
в точках F
и K
. Докажите, что EF=KH
.
Указание. Через точку D
проведите касательную l
к данной окружности. Пусть точки E
, F
, K
и H
последовательно расположены на прямой AB
, а прямые ME
, MF
, MK
и MH
пересекают l
в точках E_{1}
, F_{1}
, K_{1}
и H_{1}
соответственно. Рассмотрите гомотетию с центром M
, переводящую вписанную окружность треугольника ME_{1}H_{1}
в его вневписанную окружность, касающуюся стороны E_{1}H_{1}
, и докажите, что K_{1}
— точка касания.
Решение. Через точку D
проведём касательную l
к данной окружности. Пусть точки E
, F
, K
и H
последовательно расположены на прямой AB
, а прямые ME
, MF
, MK
и MH
пересекают l
в точках E_{1}
, F_{1}
, K_{1}
и H_{1}
соответственно (точка F_{1}
совпадает с D
).
Рассмотрим гомотетию с центром в точке M
, переводящую данную окружность, т. е. вписанную окружность треугольника ME_{1}H_{1}
в его вневписанную окружность, касающуюся стороны E_{1}H_{1}
. Диаметр этой окружности, соответствующий диаметру CF_{1}
первой окружности, перпендикулярен E_{1}H_{1}
. Следовательно, вневписанная окружность касается стороны E_{1}H_{1}
в точке K_{1}
.
Пусть p
— полупериметр треугольника ME_{1}H_{1}
, L
— точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны MH_{1}
. Тогда
E_{1}F_{1}=p-MH_{1},~H_{1}K_{1}=H_{1}L=ML-MH_{1}=p-MH_{1}=E_{1}F_{1}
(см. задачи 219 и 4805). Следовательно, EF=HK
.