6438. Точка M
— середина стороны AC
треугольника ABC
. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники AMB
и CMB
, вершина B
и середина дуги ABC
описанной окружности треугольника ABC
лежат на одной окружности.
Указание. См. задачи 6437 и 6436.
Решение. Пусть I_{A}
и I_{C}
— центры вписанных окружностей треугольников AMB
и AMC
соответственно. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника BI_{A}I_{C}
. Пусть она пересекает стороны AB
, BC
и BM
в точках C_{0}
, A_{0}
и B_{0}
соответственно. Тогда (см. задачу 6437)
AC_{0}+MB_{0}=AM=\frac{1}{2}AC=CM=CA_{0}+MB_{0},
значит, AC_{0}=CA_{0}
. Следовательно, на этой окружности лежит и середина дуги ABC
треугольника ABC
(см. задачу 6436).
Примечание. 1. Если M
— произвольная точка плоскости, не лежащая на прямых AB
и BC
, то центры окружностей, вписанных в треугольники AMB
и AMC
, вершина B
и середина дуги ABC
лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда MA=MC
.
2. См. статью А.Полянского «Воробьями по пушкам!», Квант, 2012, N2, с.49-50.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2010-11, XXXVII, заключительный этап, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2011, № 5-6, М2241, с. 15; 2012, № 2, с. 27, М2241; 2012, № 2, с. 50
Источник: Задачник «Кванта». — М2241