6444. Окружность с центром O_{1}
вписана в прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
и касается гипотенузы в точке M
. Окружность с центром O_{2}
касается гипотенузы в точке N
, а также продолжений катетов.
а) Докажите, что середина гипотенузы делит отрезок MN
пополам.
б) Найдите углы треугольника AO_{1}O_{2}
, если \angle ABC=30^{\circ}
.
Ответ. 90^{\circ}
, 75^{\circ}
, 15^{\circ}
.
Указание. См. задачи 219 и 4805.
Решение. а) Пусть K
— точка касания второй окружности с продолжением катета BC
, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
AM=p-BC,~BN=BK=CK-BC=p-BC
(см. задачи 219 и 4805), значит, AM=BN
. Следовательно, середина отрезка AB
является также серединой отрезка MN
.
б) Угол при вершине A
данного треугольника равен 60^{\circ}
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки C
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой, и \angle O_{1}AO_{2}=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AO_{1}O_{2}=\angle CAO_{1}+\angle ACO_{1}=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}.
Следовательно,
\angle AO_{2}O_{1}=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}.