6445. Окружность с центром O_{1}
вписана в прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
и касается катета BC
в точке M
. Окружность с центром O_{2}
касается катета BC
в точке N
, а также продолжений второго катета и гипотенузы.
а) Докажите, что CM=BN
.
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, если \angle BAC=30^{\circ}
и CO_{1}=5
.
Ответ. 10.
Указание. См. задачи 219 и 4805.
Решение. а) Пусть K
— точка касания второй окружности с продолжением гипотенузы AB
, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
BN=BK=AK-AB=p-AB,~CM=p-AB
(см. задачи 4805 и 219). Следовательно, CM=BN
.
б) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки A
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой, и \angle O_{1}CO_{2}=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CO_{1}O_{2}=\angle ACO_{1}+\angle CAO_{1}=45^{\circ}+15^{\circ}=60^{\circ},
значит,
\angle CO_{2}O_{1}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Катет O_{1}C
прямоугольного треугольника O_{1}CO_{2}
лежит против угла в 30^{\circ}
, следовательно,
O_{1}O_{2}=2CO_{1}=10.