6535. В треугольнике ABC
известно, что AA_{1}
— медиана, AA_{2}
— биссектриса, K
— такая точка на AA_{1}
, для которой KA_{2}\parallel AC
. Докажите, что AA_{2}\perp KC
.
Решение. Обозначим векторы \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
через \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
соответственно, а их модули — через b
и c
. Тогда
\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
(см. задачу 4500). По свойству биссектрисы треугольника
\frac{BA_{2}}{CA_{2}}=\frac{AB}{AC}=\frac{b}{c}
(см. задачу 1509), поэтому
\overrightarrow{AA_{2}}=\frac{c}{b+c}\overrightarrow{b}+\frac{b}{b+c}\overrightarrow{c}.
Поскольку KA_{2}\parallel AC
, то
\frac{AK}{AA_{1}}=\frac{A_{2}C}{A_{1}C}=\frac{2c}{b+c}~\Rightarrow~AK=\frac{2c}{b+c}\cdot AA_{1},
а так как векторы \overrightarrow{AK}
и \overrightarrow{AA_{1}}
сонаправлены, то
\overrightarrow{AK}=\frac{2c}{b+c}\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{2c}{b+c}\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\right)=\frac{c}{b+c}\overrightarrow{b}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{c}.
Тогда
\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{c}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{b}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{c}=\frac{c}{b+c}\overrightarrow{b}-\frac{b}{b+c}\overrightarrow{c}.
Значит,
\overrightarrow{CK}\cdot\overrightarrow{AA_{2}}=\left(\frac{c}{b+c}\overrightarrow{b}+\frac{b}{b+c}\overrightarrow{c}\right)\left(\frac{c}{b+c}\overrightarrow{b}-\frac{b}{b+c}\overrightarrow{c}\right)=
=\left(\frac{c}{b+c}\right)^{2}\cdot b^{2}-\left(\frac{b}{b+c}\right)^{2}\cdot c^{2}=0.
Следовательно, AA_{2}\perp KC
.
Автор: Шарыгин И. Ф.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1995, LVIII, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1995, № 4, с. 58
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 4, с. 29