6601. Дан треугольник ABC
. Обозначим через M
середину стороны AC
, а через P
— середину отрезка CM
. Описанная окружность треугольника ABP
пересекает отрезок BC
во внутренней точке Q
. Докажите, что \angle ABM=\angle MQP
.
Решение. Первый способ. Пусть прямая, проведённая через точку M
параллельно PQ
, пересекает сторону BC
в точке D
. Тогда Q
— середина CD
, PQ
— средняя линия треугольника CDM
, а PQ
— средняя линия треугольника CDM
, значит, MQ\parallel AD
и PQ\parallel MD
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Четырёхугольник ABQP
вписанный, поэтому
\angle CQP=180^{\circ}-\angle BQP=\angle BAP=\alpha,
а так как PQ\parallel MD
и MQ\parallel AD
, то
\angle BDM=180^{\circ}-\angle CDM=180^{\circ}-\angle CQP=180^{\circ}-\alpha,
значит, четырёхугольник ABDM
— также вписанный. Следовательно,
\angle MQP=\angle ADM=\angle ABM.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Из точки C
проведены к окружности секущие CPA
и CQB
, поэтому CP\cdot CA=CQ\cdot CB
(см. задачу 2636), а так как CP=\frac{1}{4}AC
и AC=2CM
, то CP=\frac{1}{4}\cdot2CM=\frac{1}{2}CM
, поэтому CM^{2}=CQ\cdot CB
. Следовательно, CM
— касательная к окружности, описанной около треугольника BMQ
(см. задачу 4776).
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle AMB=\angle BQM
, а так как четырёхугольник ABQP
вписанный, то
\angle BAM=\angle BAP=180^{\circ}-\angle BQP,
значит,
\angle ABM=180^{\circ}-\angle BAM-\angle AMB=
=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle BQP)-\angle BQM=\angle BQP-\angle BQM=\angle MQP.
Что и требовалось доказать.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2014, LXXVII, 10 класс