6646. Пусть AP
и BQ
— высоты данного остроугольного треугольника ABC
. Постройте циркулем и линейкой на стороне AB
такую точку M
, чтобы \angle AQM=\angle BPM
.
Решение. Поскольку точки P
и Q
лежат на окружности с диаметром AB
, то \angle BPQ=180^{\circ}-\angle A
. Значит,
\angle MPQ=\angle BPQ-\angle BPM=180^{\circ}-\angle A-\angle AQM=\angle AMQ.
Следовательно, окружность, проходящая через точки P
, Q
и M
, касается прямой AB
(см. задачу 144).
Таким образом, задача сводится к построению окружности, проходящей через две данные точки и касающейся данной прямой (см. задачу 112).
Автор: Ясинский В. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2011, VII, заочный тур, № 12, 8-10 классы