6668. Дан прямоугольник ABCD
и точка P
. Прямые, проходящие через точки A
и B
, перпендикулярные соответственно PC
и PD
, пересекаются в точке Q
. Докажите, что PQ\perp AB
.
Решение. Первый способ. Пусть U
и V
— проекции точек A
и B
на прямые PC
и PD
соответственно. Тогда точки U
и V
лежат на описанной окружности прямоугольника ABCD
. Применив теорему Паскаля к ломаной AUCBVD
с параллельными звеньями BC
и AD
, получим, что PQ\parallel BC
(см. примечание к задаче 6390). Следовательно, PQ\perp AB
.
Второй способ. По условию задачи PC\perp AQ
, поэтому \overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{AQ}=0
. Значит,
\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}+0=\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{PC}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AQ})=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PQ}.
Аналогично \overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PD}\cdot\overrightarrow{PQ}
. Кроме того, ABCD
— прямоугольник, поэтому \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}
(см. задачу 6449). Значит,
\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{PQ}(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PD})=\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PD}=0.
Следовательно, PQ\perp CD
.
Третий способ. Пусть Q'
— образ точки Q
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BC}
. Тогда BCQ'Q
и AQQ'D
— параллелограммы. Значит, CQ'\parallel BQ
, а так как BQ\perp DP
, то CQ'\perp DP
. Поэтому прямая DP
содержит высоту треугольника CDQ'
, проведённую из вершины D
. Аналогично прямая CP
содержит высоту этого треугольника, проведённую из вершины C
. Значит, P
— ортоцентр треугольника CDQ'
, поэтому PQ'\perp CD
, и PQ'\parallel AD
. Но QQ'\parallel AD
, поэтому точка Q'
лежит на прямой PQ
. Следовательно, PQ\parallel AD
, а так как AD\perp CD
, то PQ\perp CD
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2007, III, заочный тур, № 12
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2007, 9-11 классы
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — задача 1, с. 171