6681. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Прямые AA_{1}
и B_{1}C_{1}
пересекаются в точке K
. Окружности, описанные вокруг треугольников A_{1}KC_{1}
и A_{1}KB_{1}
, вторично пересекают прямые AB
и AC
в точках N
и L
соответственно. Докажите, что:
а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC
;
б) \frac{A_{1}N}{BB_{1}}+\frac{A_{1}L}{CC_{1}}=1
.
Решение. а) Поскольку
\angle KA_{1}C_{1}=\angle KA_{1}B_{1}=90^{\circ}-\angle A
(см. задачу 533) и треугольники AB_{1}C_{1}
, A_{1}BC_{1}
и A_{1}B_{1}C
подобны треугольнику ABC
с коэффициентами \cos\angle A
, \cos\angle B
, \cos\angle C
соответственно (см. задачу 19), то по теореме синусов диаметры описанных окружностей треугольников A_{1}KB_{1}
и A_{1}KC_{1}
равны
2R_{\triangle A_{1}KB_{1}}=\frac{B_{1}K}{\sin(90^{\circ}-\angle A)}=\frac{B_{1}K}{\cos\angle A},
2R_{\triangle A_{1}KC_{1}}=\frac{C_{1}K}{\sin(90^{\circ}-\angle A)}=\frac{C_{1}K}{\cos\angle A}.
Следовательно,
2R_{\triangle A_{1}KB_{1}}+2R_{\triangle A_{1}KC_{1}}=\frac{B_{1}K}{\cos\angle A}+\frac{C_{1}K}{\cos\angle A}=\frac{B_{1}C_{1}}{\cos\angle A}=BC.
б) Доказанное в предыдущем пункте равенство можно переписать в виде
\frac{A_{1}N}{\sin\angle C}+\frac{A_{1}L}{\sin\angle B}=BC.
Разделив его на BC
, получим, что
\frac{A_{1}N}{BC\sin\angle C}+\frac{A_{1}L}{BC\sin\angle B}=1,
а так как BC\sin\angle C=BB_{1}
и BC\sin\angle B=CC_{1}
, то
\frac{A_{1}N}{BB_{1}}+\frac{A_{1}L}{CC_{1}}=1.