6692. Пусть O
, I
— центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; R
, r
— радиусы этих окружностей; J
— точка, симметричная вершине прямого угла относительно I
. Найдите OJ
.
Ответ. R-2r
.
Указание. См. задачи 126 и 4014.
Решение. По формуле Эйлера (см. задачу 126) OI^{2}=R^{2}-2Rr
. Поскольку OI
— медиана треугольника OCJ
, получаем (см. задачу 4014), что
4OI^{2}=2OC^{2}+2OJ^{2}-CJ^{2},~\mbox{или}~4R^{2}-8Rr=2R^{2}+2OJ^{2}-8r^{2},
откуда OJ^{2}=(R-2r)^{2}
. Следовательно, OJ=R-2r
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2010, VI, финальный тур, № 1, 10 класс