6723. Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.
Решение. Воспользуемся следующим очевидным утверждением: если точка Z
лежит на дуге XY
окружности, то из всех точек этой дуги её середина наиболее удалена от хорды XY
(см. задачу 6127); при этом касательная к окружности, проведённая в этой точке, параллельна хорде XY
(см. задачу 1734).
Пусть C
— данная точка, A
и B
— точки на окружности. Если касательная к окружности, проведённая в точке A
, не параллельна CB
, то, переместив точку A
в середину соответствующей дуги, увеличим расстояние от неё до BC
, а значит, и площадь треугольника. Следовательно, эта касательная параллельна CB
. Аналогично для точки B
и прямой AC
.
Таким образом, если площадь треугольника ABC
максимальна, то касательные к окружности, проведённые в точках A
и B
, параллельны сторонам CB
и CA
соответственно. Значит, прямые AC
и BC
симметричны относительно серединного перпендикуляра к хорде AB
. Следовательно, AC=BC
.
Примечание. Отметим, что проведённое рассуждение не зависит от того, лежит ли данная точка внутри или вне окружности.