6724. В остроугольном треугольнике ABC
точка H
— ортоцентр, O
— центр описанной окружности, AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты. Точка C_{2}
симметрична точке C
относительно прямой A_{1}B_{1}
. Докажите, что точки H
, O
, C_{1}
и C_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку CO\perp A_{1}B_{1}
(см. задачу 480), а CC_{2}\perp A_{1}B_{1}
по условию, точки C
, O
, C_{2}
лежат на одной прямой.
Пусть M
— середина AB
, K
— точка пересечения A_{1}B_{1}
и CC_{2}
. Из подобия треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C
получаем, что
\frac{CC_{2}}{CC_{1}}=2\cdot\frac{CK}{CC_{1}}=2\cos\angle C,
откуда CC_{2}=2CC_{1}\cos\angle C
.
С другой стороны (см. задачу 1257),
CH=2OM=2OA\cos\angle AOM=2CO\cos\angle C,
откуда CO=\frac{CH}{2\cos\angle C}
. Значит,
CO\cdot CC_{2}=\frac{CH}{2\cos\angle C}\cdot2CC_{1}\cos\angle C=CH\cdot CC_{1}.
Следовательно, точки H
, O
, C_{1}
и C_{2}
лежат на одной окружности (см. задачу 114).