6728. Вокруг треугольника ABC
описали окружность s
. Пусть L
и W
— точки пересечения биссектрисы угла A
со стороной BC
и окружностью s
соответственно. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ACL
. Восстановите треугольник ABC
, если даны окружность s
и точки W
и O
.
Решение. Пусть O'
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Биссектриса угла A
и серединный перпендикуляр к стороне BC
пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
(см. замечание к задаче 430), поэтому BC\perp O'W
, а так как линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, то AC\perp OO'
. Значит, направления сторон BC
и AC
известны. Кроме того,
\angle COL=2\angle CAL=2\angle LCW,
поэтому CW
— касательная к описанной окружности треугольника ACL
(см. задачу 1735). Значит, \angle OCW=90^{\circ}
. Следовательно, C
— точка пересечения окружности s
и окружности с диаметром OW
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим центр O'
данной окружности s
. На данном отрезке OW
как на диаметре строим окружность. Через точку C
её пересечения с окружностью s
проводим прямые, перпендикулярные O'O
и O'W
соответственно. Точки пересечения этих прямых с окружностью s
, отличные от C
, — вершины A
и B
искомого треугольника ABC
.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2009, V, финальный тур, № 7, 8 класс