6741. Четырёхугольник ABCD
описан около окружности с центром I
. Докажите, что проекции точек B
и D
на прямые IA
и IC
лежат на одной окружности.
Решение. Середина M
диагонали BD
равноудалена от проекций Y
и Z
точек B
и D
на прямую IC
(см. задачу 1939), т. е. MY=MZ
. Докажем, что она равноудалена и от проекций X
и Y
точки B
на прямые IA
и IC
, т. е. MY=MX
. Отсюда будет следовать, что точки X
, Y
и Z
лежат на окружности с центром M
.
Поскольку
\angle BXI=\angle BYI=90^{\circ},
точки X
и Y
лежат на окружности с диаметром BI
. Тогда серединный перпендикуляр к отрезку XY
проходит через центр этой окружности, т. е. через середину N
её диаметра BI
.
Пусть прямые DI
и XY
пересекаются в точке K
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle IKX=\angle XID-\angle KXI=\angle AID-\angle YXI=
=\angle AID-\angle YBI=\angle AID-(90^{\circ}-\angle BIY)=\angle AID-(90^{\circ}-\angle BIC)=
=\angle AID+\angle BIC-90^{\circ}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}
(см. задачу 4771), т. е. DI\perp XY
.
Значит, прямая DI
параллельна серединному перпендикуляру к отрезку IY
, проходящему через точку N
. Тогда этот серединный перпендикуляр проходит через середину M
диагонали BD
(MN
— средняя линия треугольника BDI
). Следовательно, MY=MX
.
Аналогично доказывается что на этой окружности лежит и проекция точки D
на IA
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2008, IV, заочный тур, № 10, 9-10 классы