6747. Докажите неравенство
\frac{1}{\sqrt{2\sin A}}+\frac{1}{\sqrt{2\sin B}}+\frac{1}{\sqrt{2\sin C}}\leqslant\sqrt{\frac{p}{r}},
где p
— полупериметр, а r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть R
и S
— радиус описанной окружности и площадь треугольника ABC
. Используя теорему синусов и формулы S=pr
(см. задачу 452), S=2R^{2}\sin A\sin B\sin C
(см. задачу 4020), преобразуем правую часть неравенства:
\sqrt{\frac{p}{r}}=\sqrt{\frac{p}{\frac{S}{p}}}=\frac{p}{\sqrt{S}}=\frac{R(\sin A+\sin B+\sin C)}{\sqrt{2R^{2}\sin A\sin B\sin C}}=
=\sqrt{\frac{\sin A}{2\sin B\sin C}}+\sqrt{\frac{\sin B}{2\sin A\sin C}}+\sqrt{\frac{\sin C}{2\sin A\sin B}}
Из неравенства о средних следует, что
\frac{2}{\sqrt{\sin A}}\leqslant\sqrt{\frac{\sin B}{\sin A\sin C}}+\sqrt{\frac{\sin C}{\sin A\sin B}}.
Сложив это неравенство с двумя аналогичными, получим утверждение задачи.
Автор: Пиркулиев Р. Ш.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2008, IV, финальный тур, № 3, 9 класс