6750. Две окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
пересекаются в двух точках X
и Y
, а третья окружность \omega
касается внутренним образом окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
в точках P
и Q
соответственно. Отрезок XY
пересекает окружность \omega
в двух точках M
и N
. Лучи PM
и PN
пересекают \omega_{1}
в точках A
и D
, а лучи QM
и QN
пересекают \omega_{2}
в точках B
и C
соответственно. Докажите, что AB=CD
.
Решение. Точка P
является центром гомотетии окружностей \omega
и \omega_{1}
(см. задачу 6401). Следовательно, AD\parallel MN
, а так как общая хорда пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров (см. задачу 1130), то прямая AD
перпендикулярна линии центров окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
.
Поскольку окружность симметрична относительно любого своего диаметра (см. задачу 1677), точки A
и D
симметричны относительно линии центров окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
. Аналогично B
и C
симметричны относительно этой линии, и значит, AB=CD
.
Автор: Ясинский В. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2008, IV, финальный тур, № 3, 10 класс