6769. Найдите расстояние между ортоцентром и центром вписанной окружности треугольника со сторонами 13, 14 и 15.
Ответ. \frac{\sqrt{17}}{4}
.
Решение. Пусть r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
с центрами I
и O
соответственно, причём AB=13
, BC=14
и AC=15
, S
и p
— соответственно площадь и полупериметр треугольника, AA_{1}=h
— высота, H
— ортоцентр, M
— середина стороны BC
, K
— точка касания вписанной окружности со стороной BC
. Тогда
p=\frac{AB+BC+AC}{2}=21,~S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84,
h=\frac{2S}{BC}=\frac{2\cdot84}{14}=12,~r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4,
R=\frac{abc}{4R}=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{65}{8},
OM=\sqrt{OC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{r^{2}-\frac{1}{4}BC^{2}}=\sqrt{\left(\frac{65}{8}\right)^{2}-7^{2}}=
=\frac{1}{8}\sqrt{65^{2}-56^{2}}=\frac{1}{8}\sqrt{9\cdot121}=\frac{33}{8},
AH=2OM=\frac{33}{4},~BK=p-AC=21-15=6,
(см. задачи 1257 и 219),
HA_{1}=AA_{1}-AH=12-\frac{33}{4}=\frac{15}{4},~BA_{1}=\sqrt{AB^{2}-AA_{1}^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5,
A_{1}K=BK-BA_{1}=6-5=1.
Опустим перпендикуляр HL
из ортоцентра на прямую IK
. Тогда
HL=A_{1}K=1,~IL=IK-LK=IK-HA_{1}=r-A_{1}H=4-\frac{15}{4}=\frac{1}{4}.
Наконец, из прямоугольного треугольника ILH
находим, что
IH=\sqrt{HL^{2}+IL^{2}}=\sqrt{1^{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{17}}{4}.