6773. Дана окружность и не лежащая на ней фиксированная точка P
. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников ABP
, где AB
— диаметр окружности.
Ответ. Прямая, перпендикулярная прямой OP
(где O
— центр данной окружности) и проходящая через такую её точку P'
, что OP'=\frac{|R^{2}-OP^{2}|}{OP}
.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка P
лежит вне данной окружности. Пусть C
— ортоцентр треугольника ABP
; A'
, B'
и C'
— основания высот, проведённых из вершин A
, B
и P
соответственно; O
— центр данной окружности, R
— её радиус; P'
— проекция точки C
на прямую OP
.
Поскольку
\angle CC'O=\angle CP'O=90^{\circ},
точки O
, C
, C'
, P'
лежат на одной окружности, значит, PC\cdot PC'=PP'\cdot PO
.
Поскольку
\angle CC'B=\angle CA'B=90^{\circ},
точки C
, A'
, B
, C'
также лежат на одной окружности, значит, PC\cdot PC'=PA'\cdot PB
.
Точка A'
лежит на исходной окружности радиуса R
, поэтому PA'\cdot PB=OP^{2}-R^{2}
(см. задачу 2636). Значит, PP'\cdot PO=OP^{2}-R^{2}
. Таким образом, произведение PP'\cdot PO
, а значит, и точка P'
, не зависят от выбора диаметра AB
. Следовательно, точка C
лежит на прямой l
, проходящей через P'
перпендикулярно OP
.
Пусть теперь C
— произвольная точка прямой l
. Проведём диаметр AB
данной окружности, перпендикулярный PC
. Пусть C'
— точка пересечения AB
и PC
. Тогда точки O
, P'
, C
и C'
лежат на окружности с диаметром OC
, поэтому PP'\cdot PO=PC\cdot PC'
, а так как по построению точки P'
верно равенство PP'\cdot PO=OP^{2}-R^{2}
, то PC\cdot PC'=OP^{2}-R^{2}
.
С другой стороны, OP^{2}-R^{2}
— степень точки P
относительно данной окружности, т. е. PA'\cdot PB
, где A'
— точка пересечения PB
и данной окружности. Значит, PA'\cdot PB=PC\cdot PC'
. Следовательно, точки A'
, B
, C'
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 114), а так как \angle BC'C=90^{\circ}
, то BC
— диаметр этой окружности, поэтому CA'\perp BP
.
В то же время, точка A'
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому AA'\perp BP
. Значит, точка C
, лежащая на высоте PC'
треугольника APB
, лежит также на его высоте AA'
. Следовательно, C
— ортоцентр треугольника APB
.
Таким образом, искомое геометрическое место точек есть прямая, перпендикулярная прямой OP
и проходящая через такую её точку P'
, что OP'=\frac{OP^{2}-R^{2}}{OP}
.
Аналогично для случая, когда точка P
лежит внутри данной окружности.
Примечание. Точку P'
можно построить с помощью циркуля и линейки, так как OP'=\frac{OP^{2}-R^{2}}{OP}=OP-\frac{R^{2}}{OP}
(см. задачу 2608).
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2006, II, заочный тур, № 14