6790. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Через точку A
проведены диаметры AC
и AD
этих окружностей.
а) Докажите, что точки D
, B
и C
лежат на одной прямой.
б) Найдите произведение AD\cdot AC
, если известно, что AB=8
, а диаметр окружности, описанной около треугольника ADC
, равен 10.
Ответ. 80.
Указание. а) См. задачи 3461 и 5925.
б) Примените метод площадей и теорему синусов.
Решение. а) Точка B
лежит на окружности с диаметром AC
, поэтому \angle ABC=90^{\circ}
. Аналогично \angle ABD=90^{\circ}
.
Если точки C
и D
лежат по разные стороны от прямой AB
(рис. 1), то \angle ABC+\angle ABD=180^{\circ}
. Следовательно, точка B
лежит на прямой CD
.
Если же точки C
и D
лежат по одну сторону от прямой AB
(рис. 2), то \angle ABC=\angle ABD=90^{\circ}
. Следовательно, и в этом случае точка B
лежит на прямой CD
.
б) Пусть \angle CAD=\alpha
, а радиус описанной окружности треугольника ADC
равен R
. По теореме синусов
CD=2R\sin\angle CAD=10\sin\alpha.
Поскольку
S_{\triangle CAD}=\frac{1}{2}AD\cdot AC\sin\alpha,
и
S_{\triangle CAD}=\frac{1}{2}CD\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot10\sin\alpha\cdot8=40\sin\alpha,
то
\frac{1}{2}AD\cdot AC\sin\alpha=40\sin\alpha.
Следовательно, AD\cdot AC=80
.