6793. Формула Чезаро. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в основаниях биссектрис данного треугольника равна произведению этих биссектрис, делённому на удвоенный периметр данного треугольника, т. е. S_{1}=\frac{l_{a}l_{b}l_{c}}{4p}
, где l_{a}
, l_{b}
, l_{c}
— длины биссектрис треугольника, проведённых к сторонам, равным a
, b
, c
соответственно, а p=\frac{a+b+c}{2}
— полупериметр треугольника.
Указание. См. задачи 4751 и 3106.
Решение. Пусть S
— площадь данного треугольника. Тогда
S_{1}=\frac{2Sabc}{(b+c)(a+c)(a+b)}
(см. задачу 4751). Кроме того
l_{a}=\frac{2\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c},~l_{b}=\frac{2\sqrt{acp(p-b)}}{a+c},~l_{c}=\frac{2\sqrt{ab(p-c)}}{a+b}
(см. задачу 3106). Перемножая эти три равенства, получим, что
l_{a}l_{b}l_{c}=\frac{8abcp\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{(b+c)(a+c)(a+b)}=\frac{8abcp\cdot S}{(b+c)(a+c)(a+b)},
откуда
S=\frac{l_{a}l_{b}l_{c}(b+c)(a+c)(a+b)}{8abcp}.
Следовательно,
S_{1}=\frac{2Sabc}{(b+c)(a+c)(a+b)}=\frac{2\cdot\frac{l_{a}l_{b}l_{c}(b+c)(a+c)(a+b)}{8abcp}\cdot abc}{(b+c)(a+c)(a+b)}=\frac{l_{a}l_{b}l_{c}}{4p}.