6794. Прямые, проходящие через вершины A
, B
и C
треугольника ABC
, проходят через одну точку и пересекают противоположные стороны в точках A'
, B'
, C'
соответственно. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
, AB
, а A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— середины отрезков соответственно AA'
, BB'
, CC'
. Докажите, что прямые A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
также проходят через одну точку.
Решение. Прямые AA'
, BB'
, CC'
пересекаются в одной точке, поэтому
\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}=
(см. задачу 1621). Умножив числитель и знаменатель каждой дроби на \frac{1}{2}
, получим, что
\frac{\frac{1}{2}AC'}{\frac{1}{2}C'B}\cdot\frac{\frac{1}{2}BA'}{\frac{1}{2}A'C}\cdot\frac{\frac{1}{2}CB'}{\frac{1}{2}B'A}=1.
Отрезки B_{1}C_{2}
и A_{1}C_{2}
— средние линии треугольников ACC'
и BCC'
, поэтому \frac{1}{2}AC'=B_{1}C_{2}
и \frac{1}{2}C'B=A_{1}C_{2}
. Аналогично
\frac{1}{2}BA'=C_{1}A_{2}~\mbox{и}~\frac{1}{2}A'C=B_{1}A_{2},~~\frac{1}{2}CB'=A_{1}B_{2}~\mbox{и}~\frac{1}{2}B'A=C_{1}B_{2}.
Значит,
\frac{B_{1}C_{2}}{C_{2}A_{1}}\cdot\frac{A_{1}B_{2}}{B_{2}C_{1}}\cdot\frac{C_{1}A_{2}}{A_{2}B_{1}}=\frac{B_{1}C_{2}}{A_{1}C_{2}}\cdot\frac{C_{1}A_{2}}{B_{1}A_{2}}\cdot\frac{A_{1}B_{2}}{C_{1}B_{2}}=1.
При этом точки A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
лежат на прямых соответственно B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
, A_{1}B_{1}
. Следовательно, по теореме Чевы прямые A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
пересекаются в одной точке.
Примечание. Если AA'
, BB'
и CC'
— высоты треугольника ABC
, получаем теорему Шлёмильха (см. задачу 2416).