2416. Теорема Шлёмильха. Рассмотрим три прямые, каждая из которых проходит через середину высоты и середину стороны, на которую эта высота опущена. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
Указание. К треугольнику с вершинами в серединах сторон данного примените утверждение задачи 2415 или примените теорему Чевы к треугольнику с вершинами в серединах сторон данного.
Решение. Первый способ. Пусть
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
— середины высот соответственно
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
треугольника
ABC
,
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
— точки, соответственно симметричные точкам
A_{1}
,
B_{1}
и
C_{1}
относительно середин
K
,
L
и
M
сторон
BC
,
AC
и
AB
соответственно.
Пусть серединный перпендикуляр к стороне
BC
пересекается с прямой
ML
в точке
A_{3}
. Средняя линия
ML
треугольника
ABC
проходит через середину
A_{2}
высоты
AA_{1}
, а так как прямоугольные треугольники
AA_{2}M
и
KA_{3}L
равны по гипотенузе и острому углу, то
A_{2}M=A_{3}L
. Значит, точки
A_{2}
и
A_{3}
симметричны относительно середины стороны
ML
треугольника
KLM
. Аналогично определим точки
B_{3}
и
C_{3}
и докажем, что они симметричны точкам
B_{2}
и
C_{2}
относительно середин сторон соответственно
MK
и
KL
треугольника
KLM
.
Поскольку прямые
KA_{3}
,
LB_{3}
и
MC_{3}
— серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
ABC
, они пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника
ABC
. Следовательно, прямые
A_{2}K
,
B_{2}L
и
C_{2}M
также пересекаются в одной точке (см. задачу 2415).
Второй способ. Пусть
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
— середины высот соответственно
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
треугольника
ABC
,
K
,
L
и
M
— середины сторон
BC
,
AC
и
AB
соответственно.
Точки
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
лежат на средних линиях
ML
,
MK
и
KL
треугольника
ABC
, причём
\frac{MA_{2}}{A_{2}L}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C},~\frac{LC_{2}}{C_{2}K}=\frac{AC_{1}}{C_{1}B},~\frac{KB_{2}}{B_{2}M}=\frac{CB_{1}}{B_{1}A}

(см. задачу 1597). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому по теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1.

Значит,
\frac{MA_{2}}{A_{2}L}\cdot\frac{LC_{2}}{C_{2}K}\cdot\frac{KB_{2}}{B_{2}M}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=1.

Точки
A_{2}
,
B_{2}
,
C_{2}
лежат на сторонах соответственно
ML
,
KM
и
KL
треугольника
KLM
, и при этом
\frac{MA_{2}}{A_{2}L}\cdot\frac{LC_{2}}{C_{2}K}\cdot\frac{KB_{2}}{B_{2}M}=1
. Следовательно, по теореме Чевы прямые
KA_{2}
,
LB_{2}
и
MC_{2}
пересекаются в одной точке.

Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — с. 133
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 151, с. 194
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — с. 29