6825. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
отмечены точки C_{1}
и B_{1}
соответственно. Оказалось, что BC_{1}=CB_{1}=BC
.
а) Докажите, что точки B
, C
и середины отрезков BB_{1}
и CC_{1}
лежат на одной окружности.
б) Найдите косинус угла между прямыми BB_{1}
и CC_{1}
, если BC=3
, AB=4
, AC=5
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{10}}
.
Решение. Первый способ. а) Пусть L
и N
— середины отрезков BB_{1}
и CC_{1}
соответственно. Медиана BN
равнобедренного треугольника BCC_{1}
является его высотой, поэтому \angle BNC=90^{\circ}
. Аналогично \angle BLC=90^{\circ}
. Из точек L
и N
отрезок BC
виден под прямым углом, следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
.
б) Из теоремы, обратной теореме Пифагора (см. задачи 1972 и 1013), следует, что треугольник ABC
прямоугольный с гипотенузой AC
. Из прямоугольного треугольника CBC_{1}
находим, что CC_{1}=3\sqrt{2}
.
Достроим треугольник CBC_{1}
до параллелограмма CMBC_{1}
. Пусть K
— точка пересечения прямых BB_{1}
и CM
. Треугольник CB_{1}K
подобен треугольнику AB_{1}B
с коэффициентом \frac{CB_{1}}{AB_{1}}=\frac{3}{2}
, поэтому
CK=\frac{3}{2}BC_{1}=\frac{3}{2}\cdot4=6.
Тогда
BK=\sqrt{BC^{2}+CK^{2}}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5},~
MK=CM+CK=BC_{1}+CK=3+6=9,~BM=CC_{1}=3\sqrt{2}.
По теореме косинусов
\cos\angle KBM=\frac{BK^{2}+BM^{2}-MK^{2}}{2BK\cdot BM}=\frac{45+18-81}{2\cdot3\sqrt{5}\cdot3\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{10}},
а так как BM\parallel CC_{1}
то острый угол между прямыми BB_{1}
и CC_{1}
равен 180^{\circ}-\angle KBM
. Следовательно, косинус искомого угла равен \frac{1}{\sqrt{10}}
.
Второй способ. а) Пусть L
и N
— середины отрезков BB_{1}
и CC_{1}
соответственно. Медиана BN
равнобедренного треугольника BCC_{1}
является его высотой, поэтому \angle BNC=90^{\circ}
. Аналогично \angle BLC=90^{\circ}
. Из точек L
и N
отрезок BC
виден под прямым углом, следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
.
б) Достроим треугольник C_{1}BC
до параллелограмма C_{1}BMC
. Тогда угол MBB_{1}
дополняет угол между прямыми BB_{1}
и CC_{1}
до 180^{\circ}
. Обозначим \angle MBB_{1}=\alpha
. Поскольку CM=CB=CB_{1}
, точки M
, B
и B_{1}
лежат на окружности радиуса 3 с центром C
. Вписанный в эту окружность угол MBB_{1}
равен половине дуги MB_{1}
, не содержащей точки B
, значит, центральный угол MCB_{1}
равен 360^{\circ}-2\angle MBB_{1}=360^{\circ}-2\alpha
, а
\angle ACB=\angle ACM-\angle BCM=360^{\circ}-2\alpha-90^{\circ}=270^{\circ}-2\alpha.
Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
\sin(270^{\circ}-2\alpha)=\sin\angle ACB=\frac{4}{5},
а так как \sin(270^{\circ}-2\alpha)=-\cos2\alpha
, то \cos2\alpha=-\frac{4}{5}
. Тогда
\cos^{2}\alpha=\frac{\cos2\alpha+1}{2}=\frac{-\frac{4}{5}+1}{2}=\frac{1}{10},
а так как \alpha\gt90^{\circ}
, то \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}
. Следовательно, косинус острого угла между прямыми BB_{1}
и CC_{1}
равен \frac{1}{\sqrt{10}}
.
Третий способ. а) Пусть L
и N
— середины отрезков BB_{1}
и CC_{1}
соответственно. Медиана BN
равнобедренного треугольника BCC_{1}
является его высотой, поэтому \angle BNC=90^{\circ}
. Аналогично \angle BLC=90^{\circ}
. Из точек L
и N
отрезок BC
виден под прямым углом, следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
.
б) Поскольку AB^{2}+BC^{2}=16+9=25=AC^{2}
, треугольник ABC
прямоугольный,
\sin\angle BAC=\cos\angle ACB=\frac{3}{5},
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6,~
S_{\triangle AB_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}AC_{1}\cdot AB_{1}\sin\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{5},
S_{BCB_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AB_{1}C_{1}}=6-\frac{3}{5}=\frac{27}{5}.
Из равнобедренных треугольников BCC_{1}
и BCB_{1}
находим, что
CC_{1}=3\sqrt{2},~BB_{1}=\sqrt{BC^{2}+CB_{1}^{2}-2BC\cdot CB_{1}\cos\angle ACB}=
=\sqrt{2\cdot9-2\cdot9\cdot\frac{3}{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}.
Обозначим угол между прямыми BB_{1}
и CC_{1}
через \alpha
. Тогда S_{BCB_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}BB_{1}\cdot CC_{1}\sin\alpha
, или
\frac{27}{5}=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{2}\cdot\frac{6}{\sqrt{5}}\cdot\sin\alpha.
Отсюда находим, что \sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}
, а так как \alpha\leqslant90^{\circ}
, то \cos\alpha\geqslant0
, следовательно, \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}
.