6826. На катете BC
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине C
построен вне треугольника квадрат BCDE
с центром O
, CK
— биссектриса треугольника ABC
.
а) Докажите, что прямая AO
проходит через середину отрезка CK
.
б) Пусть прямая AO
пересекает отрезок BC
в точке N
. Найдите площадь треугольника BKN
, если AC=30
и BC=15
.
Ответ. 45
.
Решение. а) Прямые CK
и BD
параллельны, поскольку \angle BCK=\angle CBD=45^{\circ}
.
Пусть M
— точка пересечения CK
и AO
. Треугольник ACM
подобен треугольнику ADO
с коэффициентом \frac{AM}{AO}
, а треугольник AKM
подобен треугольнику ABO
с тем же коэффициентом, Значит,
\frac{CM}{OD}=\frac{AM}{AO}=\frac{MK}{OB}=1,
а так как OD=OB
, то CM=MK
. Следовательно, M
— середина CK
.
б) Точки O
и M
— середины оснований BD
и CK
трапеции BKCD
. При этом
\frac{CK}{BD}=\frac{AC}{AD}=\frac{AC}{AC+CD}=\frac{30}{30+15}=\frac{2}{3},
значит,
\frac{CN}{NB}=\frac{CK}{BD}=\frac{2}{3},~\frac{BN}{BC}=\frac{3}{5}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{BK}{KA}=\frac{CB}{CA}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}
, значит, \frac{BK}{BA}=\frac{1}{3}
. Следовательно (см. задачу 3007),
S_{\triangle BKN}=\frac{BN}{BC}\cdot\frac{BK}{BA}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot30\cdot15=45.