6827. Дан треугольник ABC
со сторонами AB=3
, AC=5
, BC=7
. На его стороне BC
построен вне треугольника равносторонний треугольник BCD
.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABDC
можно описать окружность.
б) Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника ABDC
.
Ответ. \frac{7\sqrt{57}}{24}
.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\alpha
. По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{9+25-49}{2\cdot3\cdot5}=-\frac{1}{2},
значит, \alpha=120^{\circ}
. Сумма противоположных углов при вершинах A
и D
четырёхугольника ABDC
равна 120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}
, следовательно, около него можно описать окружность (см. задачу 49).
б) Пусть O
— центр этой окружности, M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABDC
. Вписанные углы BAD
и CAD
опираются на равные дуги, поэтому AM
— биссектриса треугольника ABC
. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, т. е. \frac{BM}{CM}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}
, поэтому
BM=\frac{3}{8}BC=\frac{3}{8}\cdot7=\frac{21}{8}.
Опустим перпендикуляр OH
из центра окружности на хорду BC
. Тогда H
— середина BC
(см. задачу 1676), OH
— треть высоты равностороннего треугольника BCD
, значит, OH=\frac{7}{2\sqrt{3}}
(см. задачу 1963), а так как
MH=|BH-BM|=\frac{7}{2}-\frac{21}{8}=\frac{7}{8},
то
OM=\sqrt{OH^{2}+MH^{2}}=\sqrt{\frac{49}{12}+\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}\sqrt{\frac{19}{3}}=\frac{7\sqrt{57}}{24}.