6834. Дан остроугольный треугольник ABC
. Биссектриса внутреннего угла при вершине B
пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C
в точке M
, а биссектриса внутреннего угла при вершине C
пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B
в точке N
.
а) Докажите, что \angle BMN=\frac{1}{2}\angle ACB
.
б) Найдите BM
, если AB=AC=10
, BC=12
.
Ответ. 8\sqrt{5}
.
Решение. а) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому \angle MBN=\angle MCN=90^{\circ}
. Из точек B
и C
отрезок MN
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MN
. Вписанные в эту окружность углы BMN
и BCN
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle BMN=\angle BCN=\angle\frac{1}{2}\angle ACB.
б) Пусть K
— точка на продолжении стороны AB
за вершину A
. Поскольку M
— точка пересечения биссектрисы внутреннего угла при вершине B
треугольника ABC
и внешнего угла при вершине C
этого треугольника, луч AM
— биссектриса внешнего угла при вершине A
, т. е. угла CAK
(см. задачу 1192), а так как A
— вершина равнобедренного треугольника ABC
, то AM\parallel BC
(см. задачу 1174). Аналогично AN\parallel BC
. Тогда точка A
лежит на отрезке MN
, BNMC
— равнобедренная трапеция, вписанная в окружность с диаметром MN
, а точка A
— центр окружности, описанной около этой трапеции.
Пусть AH
— высота равнобедренного треугольника ABC
, а BP
— высота трапеции BNMC
. Тогда
AM=AC=10,~PA=BH=6,~PM=PA+AM=6+10=16,
BP=AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8.
Следовательно,
BM=\sqrt{BP^{2}+PM^{2}}=\sqrt{8^{2}+16^{2}}=8\sqrt{5}.