6877. В угол с вершиной A
, величина которого равна \alpha
, вписаны две непересекающиеся окружности. Расстояние между их центрами равно d
. Прямая, касающаяся обеих окружностей и не проходящая через точку A
, пересекает стороны угла в точках B
и C
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. \frac{d}{4\sin\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Первый способ. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры соответственно меньшей и большей окружностей, E
— точка касания большей окружности с лучом AC
, D
— середина отрезка O_{1}O_{2}
. Поскольку CO_{1}
и CO_{2}
— биссектрисы смежных углов, треугольник O_{1}CO_{2}
прямоугольный, а CD
— его медиана, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
CD=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}=\frac{d}{2}
(см. задачу 1109).
Обозначим \angle ABC=\varphi
. Тогда BCE
— внешний угол при вершине C
треугольника ABC
, поэтому
\angle BCE=\angle BAC+\angle ABC=\alpha+\varphi,
а так как O_{2}
— центр окружности, вписанной в угол BCE
, то CO_{2}
— биссектриса угла BCE
, поэтому
\angle ECO_{2}=\frac{1}{2}\angle BCE=\frac{\alpha+\varphi}{2}.
Значит,
\angle AO_{2}C=\angle ECO_{2}-\angle CAO_{2}=\frac{\alpha+\varphi}{2}-\frac{\alpha}{2}=\frac{\varphi}{2}.
Тогда
\angle ADC=\angle O_{1}DC=2\angle CO_{2}D=2\angle AO_{2}C=\varphi.
Из точек B
и D
отрезок AC
виден под одним и тем же углом \varphi
, значит, эти точки B
, D
, A
и C
лежат на одной окружности — описанной окружности и треугольника ABC
, и треугольника ACD
. Пусть R
— её радиус. По теореме синусов
R=\frac{CD}{2\sin\angle CAD}=\frac{\frac{d}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{d}{4\sin\frac{\alpha}{2}}.
Второй способ. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры соответственно меньшей и большей окружностей.
Поскольку окружность с центром O_{1}
— вписанная окружность треугольника ABC
, а окружность с центром O_{2}
— вневписанная окружность этого треугольника, то описанная окружность треугольника ABC
проходит через середину отрезка O_{1}O_{2}
(см. задачу 57).
Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. Точки A
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой, так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Треугольник O_{1}CO_{2}
прямоугольный (CO_{1}
и CO_{2}
— биссектрисы смежных углов), а CD
— его медиана, проведённая из вершины прямого угла. Значит, CD=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}=\frac{d}{2}
. По теореме синусов находим, что
R=\frac{CD}{2\sin\angle CAD}=\frac{\frac{d}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{d}{4\sin\frac{\alpha}{2}}.