6881. На окружности K
заданы три различные точки A
, B
и C
. Постройте на окружности K
четвёртую точку D
так, чтобы в четырёхугольник ABCD
можно было вписать окружность.
Решение. Первый способ. Предположим, что задача решена. Пусть I
— центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
. Обозначим
\angle A=2\alpha,~\angle B=2\beta,~\angle C=2\gamma.
Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому 2\alpha+2\gamma=180^{\circ}
, а значит, \alpha+\gamma=90^{\circ}
. Поскольку I
— точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника ABCD
, то
\angle IAB=\alpha,~\angle ICB=\gamma,
поэтому
\angle AIC=360^{\circ}-2\beta-\alpha-\gamma=360^{\circ}-2\beta-90^{\circ}=270^{\circ}-2\beta.
Отсюда вытекает следующее построение. Если \varphi=270^{\circ}-\angle ABC\lt180^{\circ}
, т. е. \angle ABC\gt90^{\circ}
, то на хорде AC
строим дугу, вмещающую угол \varphi
и расположенную с точкой B
разных полуплоскостях относительно прямой AC
(см. задачу 2889).
Если \varphi=270^{\circ}-\angle ABC\gt180^{\circ}
, т. е. \angle ABC\lt90^{\circ}
, то на хорде AC
строим дугу, вмещающую угол 360^{\circ}-\varphi
и расположенную с точкой B
в одной полуплоскости относительно прямой AC
.
Пусть I
— точка пересечения этой дуги с биссектрисой угла ABC
. От луча AI
в полуплоскость, не содержащую точку B
, откладываем луч под углом, равным углу BAI
. Пусть этот луч пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке D
. Докажем, что четырёхугольник ABCD
— искомый. Достаточно доказать, что I
— точка пересечения биссектрис углов A
, B
и C
четырёхугольника ABCD
.
Пусть \angle ABC=2\beta
, \angle IAB=\alpha
. Тогда
\angle BIC=\angle AIC-\angle AIB=(270^{\circ}-2\beta)-(180^{\circ}-\alpha-\beta)=90^{\circ}+\alpha-\beta,
\angle ICB=180^{\circ}-\angle IBC-\angle BIC=180^{\circ}-\beta-(90^{\circ}+\alpha-\beta)=90^{\circ}-\alpha,
а так как \angle A+\angle C=180^{\circ}
, то
\angle ICD=\angle BCD-\angle ICB=(180^{\circ}-2\alpha)-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\alpha=\angle ICB.
Значит, CI
— биссектриса угла C
. Следовательно, I
— точка пересечения биссектрис углов A
, B
и C
четырёхугольника ABCD
. Эта точка равноудалена от всех сторон четырёхугольника (см. задачу 1138), т. е. является центром его вписанной окружности. Что и требовалось доказать.
Если \varphi=180^{\circ}
, то I
— точка пересечения AC
и биссектрисы угла ABC
.
Второй способ. Положим \angle ABC=2\beta
. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AC
в точке P
.
Четырёхугольник ABCD
описанный тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в треугольники ABC
и ADC
, касаются диагонали AC
в одной и той же точке (см. задачу 10506). Отсюда вытекает следующий способ построения.
На отрезке AC
вне треугольника ABC
строим дугу, вмещающую угол
90^{\circ}+\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\beta)=180^{\circ}-\beta.
Через точку P
проводим прямую, перпендикулярную AC
, до пересечения с построенной дугой в точке Q
. С центром в точке Q
строим окружность радиусом QP
, затем из точек A
и C
проводим касательные к этой окружности. Докажем, что точка D
пересечения этих касательных есть четвёртая вершина искомого четырёхугольника.
Действительно, из задачи 10506 следует, что четырёхугольник ABCD
описанный. Осталось доказать, что точка D
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, т. е. что \angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC
.
Центр Q
вписанной окружности треугольника ADC
— точка пересечения биссектрис этого треугольника, поэтому \angle AQC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ADC
(см. задачу 4770), поэтому
\angle ADC=2(\angle AQC-90^{\circ})=2\angle AQC-180^{\circ}=2(180^{\circ}-\beta)-180^{\circ}=
=180^{\circ}-2\beta=180^{\circ}-\angle ABC.
Что и требовалось доказать.