6887. В равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC)
вписана окружность с центром O
, которая касается стороны AB
в точке E
. На продолжении стороны AC
за точку A
выбрана точка D
так, что AD=\frac{1}{2}AC
. Докажите, что прямые DE
и AO
параллельны.
Решение. Пусть M
— точка касания вписанной окружности с основанием AC
равнобедренного треугольника ABC
. Тогда M
— середина AC
. Поскольку AD=\frac{1}{2}AC=AM=EA
, медиана EA
треугольника DEM
равна половине его стороны DM
. Значит, \angle DEM=90^{\circ}
(см. задачу 1188). С другой стороны, EM\perp AO
(см. задачу 1180). Следовательно, прямые DE
и AO
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой EM
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2013-2014, XL, окружной этап, 9 класс
Источник: Избранные задачи окружных олимпиад по математике в Москве / Сост. А. Д. Блинков. — М.: МЦНМО, 2015. — № 9.3, с. 88