6893. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
. Прямая, перпендикулярная стороне AC
и проходящая через точку A_{1}
, пересекает прямую B_{1}C_{1}
в точке D
. Докажите, что угол ADC
прямой.
Решение. Первый способ. Прямые A_{1}D
и BB_{1}
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой AC
. Кроме того, точки B_{1}
, C_{1}
, B
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 1691). Значит,
\angle A_{1}DC_{1}=\angle BB_{1}C_{1}=\angle BCC_{1}=\angle BAA_{1}.
Из точек D
и A
, лежащих по одну сторону от прямой A_{1}C_{1}
, отрезок A_{1}C_{1}
виден под одним и тем же углом, значит, точки D
, A
, A_{1}
и C_{1}
лежат на одной окружности (см. задачу 12). С другой стороны, точки A_{1}
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром AC
(см. задачу 1691), а так как через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то точка D
также лежит на окружности с диаметром AC
. Следовательно, \angle ADC=90^{\circ}
.
Второй способ. Пусть K
— точка пересечения прямых A_{1}D
и AC
. Четырёхугольник BC_{1}B_{1}B
вписанный (см. 1691), поэтому
\angle DB_{1}K=\angle AB_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle CB_{1}C_{1}=\angle ABC.
Четырёхугольник AB_{1}A_{1}B
также вписанный, поэтому
\angle A_{1}B_{1}K=\angle AB_{1}C=180^{\circ}-\angle AB_{1}A_{1}=\angle ABC.
Значит, \angle DB_{1}K=\angle A_{1}B_{1}K
. Прямоугольные треугольники DB_{1}K
и A_{1}BK_{1}
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому KD=KA_{1}
, т. е. точки D
и A_{1}
симметричны относительной прямой AC
. Тогда треугольник ADC
симметричен прямоугольному треугольнику AA_{1}C
. Следовательно,
\angle ADC=\angle AA_{1}C=90^{\circ}.