6915. Точка I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Внутри треугольника выбрана такая точка P
, что
\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB.
Докажите, что AP\geqslant AI
, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка P
совпадает с точкой I
.
Указание. Точки B
, I
, P
и C
лежат на одной окружности. Далее см. задачу 788.
Решение. Из условия следует, что
\angle ABC+\angle ACB=\angle PBA+\angle PCA+\angle PBC+\angle PCB=2(\angle PBC+\angle PCB),
поэтому
\angle BPC=180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=
=180^{\circ}-(\angle IBC+\angle ICB)=\angle BIC.
Из точек P
и I
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом, значит, точки B
, I
, P
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 12).
Пусть X
— точка пересечения прямой AI
с окружностью, описанной около треугольника ABC
. Тогда XI=XB=XC
(см. задачу 788), значит, X
— центр окружности, проходящей через точки B
, I
, C
. На этой окружности лежит также точка P
.
Прямая AI
проходит через центр этой окружности, поэтому AI
— минимальное расстояние от точки A
до точек этой окружности (см. задачу 467), причём AP\gt AI
в случае, если точка P
не совпадает с I
.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 2006, XLVII
Источник: Агаханов Н. Х., Кожевников П. А., Терёшин Д. А. Математика. Международные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — , № 06.1, с. 43