6926. Даны две концентрические окружности радиусов r
и R
(r\lt R
). Через некоторую точку P
меньшей окружности проведена прямая, пересекающая большую окружность в точках B
и C
. Перпендикуляр к BC
в точке P
пересекает меньшую окружность в точке A
. Найдите PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}
.
Ответ. 2(R^{2}+r^{2})
.
Решение. Пусть M
— отличная от P
точка пересечения прямой BC
с меньшей окружностью, M
между B
и P
. Обозначим
BM=PC=x,~PM=y,~PA=b
(см. задачу 483).
Заметим, что
x(x+y)=PC\cdot PB=(R-r)(R+r)=R^{2}-r^{2},~b^{2}+y^{2}=4r^{2}
(см. задачу 2635). Тогда
PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=b^{2}+(x+y)^{2}+x^{2}=
=b^{2}+(x^{2}+2xy+y^{2})+x^{2}=b^{2}+y^{2}+2x^{2}+2y^{2}=
=4r^{2}+2x(x+y)=4r^{2}+2(R^{2}-r^{2})=2R^{2}+2r^{2}=2(R^{2}+r^{2}).