6943. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и двум радиусам вневписанных окружностей, касающихся других сторон.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен: BC=a
— данная сторона, r_{c}
— радиус вневписанной окружности с центром O_{c}
, касающейся стороны AB
, r_{b}
— радиус вневписанной окружности с центром O_{b}
, касающейся стороны AC
.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
, D
и E
— точки касания с прямой AC
вневписанных окружностей с центрами O_{b}
и O_{c}
соответственно, F
— точка касания с прямой BC
окружности с центром O_{b}
. Тогда
DE=CE-CD=CE-CF=p-(p-BC)=BC=a
(см. задачу 4805). Отсюда вытекает следующее построение.
Строим отрезок DE=a
. Через точки D
и E
проводим прямые, перпендикулярные DE
. На этих прямых откладываем отрезки, равные r_{c}
и r_{b}
и лежащие по разные стороны от прямой DE
. Строим окружности с центрами O_{c}
и O_{b}
и радиусами r_{c}
и r_{b}
соответственно. Точка пересечения общих внутренних касательных этих окружностей есть искомая вершина A
, а точки пересечения общих внутренних касательных с общей внешней — искомые вершины B
и C
треугольника ABC
(см. задачу 386).
Достаточно доказать, что BC=a
. Действительно, пусть M
— точка касания прямой BC
и окружности с центром O_{c}
, а K
— точка пересечения прямой AC
с общей касательной построенных окружностей, отличной от MF
. Тогда MF=CK
и MB=CF=CD=EK
(см. задачу 4805), поэтому
BC=MF-CF-BM=CK-CD-EK=AD=a.
Для всех a
, r_{b}
и r_{c}
задача имеет единственное решение.