6965. Из вершины C
прямого угла прямоугольного треугольника ABC
проведена высота CH
. Точки M
и N
— середины катетов AC
и BC
соответственно.
а) Докажите, что прямые MH
и NH
перпендикулярны.
б) Пусть P
— точка пересечения прямых NH
и AC
, а Q
— точка пересечения прямых MH
и BC
. Найдите площадь треугольника MPQ
, если AH=12
и BH=3
.
Ответ. 50
.
Решение. а) Отрезок HM
— медиана прямоугольного треугольника AHC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому MH=\frac{1}{2}AC=CM
(см задачу 1109). Аналогично NH=CN
. Треугольник MHN
равен треугольнику MCN
по трём сторонам, следовательно,
\angle MHN=\angle MCN=90^{\circ}.
б) Отрезок CH
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
CH=\sqrt{AH\cdot BH}=\sqrt{12\cdot3}=6.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\tg\angle CAH=\frac{CH}{AH}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2},
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{2}{\sqrt{5}},~\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle PMQ=\angle CMH=\angle AHM+\angle MHA=2\alpha,
причём
\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}.
Поскольку PH
и QC
— высоты треугольника MPQ
, треугольник MHC
подобен треугольнику MPQ
, причём коэффициент подобия равен \cos\angle PMQ=\cos2\alpha=\frac{3}{5}
(см. задачу 19). Следовательно,
S_{\triangle MPQ}=\frac{S_{\triangle MHC}}{\cos^{2}2\alpha}=\frac{\frac{1}{2}S_{\triangle AHC}}{\cos^{2}2\alpha}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}CH\cdot AH}{\cos^{2}2\alpha}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot12}{\frac{9}{25}}=50.