6966. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C
точки M
и N
— середины катетов AC
и BC
соответственно, CH
— высота.
а) Докажите, что прямые MH
и NH
перпендикулярны.
б) Пусть P
— точка пересечения прямых AC
и NH
, а Q
— точка пересечения прямых BC
и MH
. Найдите площадь треугольника MPQ
, если AH=4
и BH=2
.
Ответ. 18\sqrt{2}
.
Решение. а) Отрезок HM
— медиана прямоугольного треугольника AHC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому MH=\frac{1}{2}AC=CM
(см. задачу 1109). Аналогично NH=CN
. Треугольник MHN
равен треугольнику MCN
по трём сторонам, следовательно,
\angle MHN=\angle MCN=90^{\circ}.
б) Отрезок CH
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
CH=\sqrt{AH\cdot BH}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}
(см задачу 2728). Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\tg\angle CAH=\frac{CH}{AH}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\sqrt{\frac{2}{3}},~\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle PMQ=\angle CMH=\angle AHM+\angle MHA=2\alpha,
причём
\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
Поскольку PH
и QC
— высоты треугольника MPQ
, треугольник MHC
подобен треугольнику MPQ
, причём коэффициент подобия равен \cos\angle PMQ=\cos2\alpha=\frac{1}{3}
. Следовательно,
S_{\triangle MPQ}=\frac{S_{\triangle MHC}}{\cos^{2}2\alpha}=\frac{\frac{1}{2}S_{\triangle AHC}}{\cos^{2}2\alpha}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}CH\cdot AH}{\cos^{2}2\alpha}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot4}{\frac{1}{9}}=18\sqrt{2}.