6974. Две окружности касаются внутренним образом в точке S
. Хорда AB
внешней окружности касается внутренней окружности в точке T
. Прямая ST
пересекает внешнюю окружность в точках S
и C
. Найдите площадь четырёхугольника SACB
, если известно, что CA=5
, CB\parallel AS
, а радиусы окружностей относятся как 11:16
.
Ответ. 32.
Решение. Пусть внутренняя окружность пересекает отрезки SA
и SB
в точках M
и N
соответственно, а P
— точка пересечения прямой AB
с общей касательной к окружностям, проведённой в точке S
. Предположим, что точка B
лежит между A
и P
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle SAB=\angle BSP=\angle NSP=\angle SMN,
поэтому MN\parallel AB
. Тогда треугольник SMN
подобен треугольнику SAB
, причём коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, описанных около этих треугольников, т. е. \frac{11}{16}
. Кроме того,
\angle MST=\angle MNT=\angle BTN=\angle BST,
т. е. ST
(а значит, и SC
) — биссектриса угла ASB
. Поскольку дуги, заключённые между параллельными хордами, равны (см. задачу 1678), SB=AC=BC=5
. Таким образом, вписанный четырёхугольник SACB
— равнобедренная трапеция (или прямоугольник) с основаниями AS
, BC=5
и боковыми сторонами BS=AC=5
.
Из подобия треугольников SMN
и SAB
также следует, что \frac{ST}{SC}=\frac{11}{16}
, значит, \frac{ST}{TC}=\frac{11}{5}
. Тогда треугольник ATS
подобен треугольнику BTC
с коэффициентом \frac{11}{5}
, поэтому
AS=\frac{11}{5}BC=\frac{11}{5}\cdot5=11.
Пусть BH
— высота равнобедренной трапеции SACB
. Тогда (см. задачу 1921)
SH=\frac{AS-BC}{2}=\frac{11-5}{2}=3,~BH=\sqrt{BS^{2}-SH^{2}}=\sqrt{25-9}=4.
Следовательно,
S_{SACB}=\frac{AS+BC}{2}\cdot BH=8\cdot4=32.