6979. В равнобедренном треугольнике с периметром 60 точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 25, 25, 10.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, в котором AB=BC
, p=30
— полупериметр треугольника, S
— площадь, M
— середина основания AC
, O
— точка пересечения медиан. Поскольку треугольник равнобедренный, отрезок BM
— его медиана, высота и биссектриса. Значит, точка O
лежит на вписанной окружности треугольника, а OM=3r
— диаметр окружности. Тогда (см. задачи 1207 и 452)
BM=3OM=6r,~S=pr=30r,~S=\frac{1}{2}AC\cdot BM=AC\cdot3r.
Из равенства 30r=3r\cdot AC
находим, что AC=10
. Следовательно,
AB=BC=\frac{1}{2}(60-10)=25.
Источник: Межвузовская математическая олимпиада. — 2011, № 7