6980. На плоскости задана точка P
. Рассматриваются различные равносторонние треугольники ABC
, такие что PA=3
, PB=4
. Какое максимальное значение может принимать длина отрезка PC
?
Ответ. 7.
Решение. Пусть при повороте на 60^{\circ}
вокруг точки C
точка P
перейдёт в точку Q
. Тогда
BQ=AP,~PC=PQ\leqslant BQ+PB=AP+PB=3+4=7.
Докажем, что найдётся точка C
, для которой полученное неравенство обращается в равенство. Действительно, пусть \angle APB=120^{\circ}
. Тогда точка P
лежит на меньшей дуге окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC
(см. задачу 49), поэтому
CP=AP+PB
(см. задачу 17). Что и требовалось доказать.