6994. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, M
— точка пересечения его диагоналей. Через точку M
проходит прямая, пересекающая стороны AB
и CD
соответственно в точках P_{1}
и Q_{1}
, а окружности, описанные около треугольников ABM
и CDM
, — в точках P_{2}
и Q_{2}
. Докажите, что \frac{MP_{1}}{MP_{2}}=\frac{MQ_{1}}{MQ_{2}}
.
Решение. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому
\angle DQ_{2}P_{2}=\angle DQ_{2}M=\angle DCM=\angle DCA=
=\angle DBA=\angle MBA=\angle MP_{2}A=\angle AQ_{2}P_{2}.
Поскольку \angle AP_{2}Q_{2}=\angle DCA
, из точек P_{2}
и C
, лежащих по одну сторону от прямой AQ_{1}
, отрезок AQ_{1}
виден под одним и тем же углом. Значит, четырёхугольник AP_{2}CQ_{1}
— вписанный (см. задачу 12). Аналогично, поскольку \angle DQ_{2}P_{2}=\angle DBA
, четырёхугольник BQ_{2}DP_{1}
— также вписанный.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
MP_{2}\cdot MQ_{1}=MA\cdot MC=MB\cdot MD=MP_{1}\cdot MQ_{2}.
Следовательно, \frac{MP_{1}}{MP_{2}}=\frac{MQ_{1}}{MQ_{2}}
.