7168. Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60^{\circ}
. Стороны основания равны 10, 10, 12. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 48\sqrt{3}
, 192\sqrt{3}
, 128\sqrt{3}
, 128\sqrt{3}
.
Указание. Высота данной пирамиды проходит либо через центр вписанной окружности, либо через центр одной из вневписанных окружностей треугольника основания.
Решение. Пусть DH
— высота треугольной пирамиды ABCD
, боковые грани ABD
, BCD
и ACD
которой, образуют углы по 60^{\circ}
с плоскостью основания ABC
. Точка H
равноудалена от прямых AB
, BC
и AC
, поэтому H
— либо центр вписанной окружности, либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника ABC
.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
; r_{c}
, r_{a}
, r_{b}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB=10
, BC=10
и AC=12
соответственно, p
— полупериметр треугольника ABC
, S
— его площадь. Тогда
S=\frac{1}{2}AC\cdot\sqrt{AB^{2}-\frac{1}{4}AC^{2}}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8=48,
r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3,
r_{c}=\frac{S}{p-AB}=\frac{48}{16-10}=\frac{48}{6}=8,
r_{a}=\frac{S}{p-BC}=\frac{48}{16-10}=\frac{48}{6}=8,
r_{b}=\frac{S}{p-AC}=\frac{48}{16-12}=\frac{48}{4}=12
(см. задачи 452 и 392).
Рассмотрим случай, когда H
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Пусть M
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины D
на прямую AC
, причём точка M
лежит на отрезке AC
. Тогда \angle DMH=60^{\circ}
, MH=R=3
. Из прямоугольного треугольника DMH
находим, что
DH=MH\tg60^{\circ}=3\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot48\cdot3\sqrt{3}=48\sqrt{3}.
Если H
— центр вневписанной окружности, то аналогично находим, что
V_{ABCD}=\frac{1}{3}Sr_{c}\sqrt{3}=128\sqrt{3},~V_{ABCD}=\frac{1}{3}Sr_{a}\sqrt{3}=128\sqrt{3},
V_{ABCD}=\frac{1}{3}Sr_{b}\sqrt{3}=192\sqrt{3}.