7312. Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер. Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. Поместим в каждую вершину массу, обратно пропорциональную длинам проведённых из этой вершины касательных к сферы (все три касательные для данной вершины, очевидно, равны). Тогда точка касания ребра совпадает с центром масс его концов, и, следовательно, все три отрезка из условия задачи пересекаются в центре масс полученной системы материальных точек.
Второй способ. Пусть K
, L
, M
, N
, P
, R
— точки, в которых соответственно рёбра AB
, AC
, AD
, BC
, BD
, CD
тетраэдра ABCD
касаются сферы, a
, b
, c
, d
— длины касательных, выходящих соответственно из вершин A
, B
, C
, D
. Плоскости ABD
и BCD
пересекаются по прямой BD
. По теореме Менелая (см. задачу 1622), применённой к треугольнику ABD
, прямая MK
пересекает BD
в точке Q
, делящей отрезок BD
(внешним образом) в отношении
\frac{AM}{MD}\cdot\frac{BK}{KA}=\frac{a}{d}\cdot\frac{b}{a}=\frac{b}{d}.
По той же причине прямая RN
пересекает BD
в той же точке Q
, так как
\frac{CR}{RD}\cdot\frac{BN}{NC}=\frac{c}{d}\cdot\frac{b}{c}=\frac{b}{d}.
(Если b=d
, то MK
и RN
параллельны BD
.) Значит, прямые MK
и RN
лежат в одной плоскости (пересекаются или параллельны). Следовательно, прямые MN
и KR
также пересекаются (MN
и KR
— диагонали четырёхугольника MKNR
). Аналогично, прямая LP
пересекает MN
и KR
. Поскольку эти три прямые очевидно не лежат в одной плоскости, они должны пересекаться в одной точке (см задачу 8018).
