7329. В пространстве даны точки A(-1;2;0)
, B(5;2;-1)
, C(2;-1;4)
и D(-2;2;-1)
. Найдите:
а) расстояние от вершины D
тетраэдра ABCD
до точки пересечения медиан основания ABC
;
б) уравнение плоскости ABC
;
в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины D
;
г) угол между прямыми BD
и AC
;
д) угол между гранями ABC
и ACD
;
е) расстояние между прямыми BD
и AC
.
Ответ. а) \sqrt{21}
; б) x+9y+6z-17=0
; в) \frac{7}{\sqrt{118}}
; г) \arccos\frac{3}{\sqrt{34}}
; д) \arccos\frac{24}{\sqrt{2242}}
; е) \frac{3}{5}
.
Решение. а) Координаты точки M
пересечения медиан треугольника ABC
равны средним арифметическим координат вершин треугольника (см. задачу 4200), т. е. x_{0}=\frac{-1+5+2}{3}=2
, y_{0}=\frac{2+2-1}{3}=1
, z_{0}=\frac{0-1+4}{3}=1
. Следовательно
DM=\sqrt{(2-(-2))^{2}+(1-2)^{2}+(1-(-1))^{2}}=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}.
б) Найдём координаты векторов:
\overrightarrow{AB}=(5-(-1);2-2;-1-0)=(6;0;-1),~\overrightarrow{AC}=(2-(-1);-1-2;4-0)=(3;-3;4).
Пусть \overrightarrow{n}(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости ABC
(вектор нормали). Тогда \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}=0
и \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{n}=0
, или
\syst{6a-c=0\\3a-3b+4c=0\\}
Положим a=1
. Тогда c=6
и b=\frac{1}{3}(3a+4c)=9
. Уравнение плоскости по точке A(-1;2;0)
и вектору нормали \overrightarrow{n}(a;b;c)
имеет вид
a(x+1)+b(y-2)+c(z-0)=0~\Leftrightarrow~1(x+1)+9(y-2)+6(z-0)=0~\Leftrightarrow~x+9y+6z-17=0.
в) Высоту DH
пирамиды ABCD
найдём по формуле расстояния от точки до плоскости:
DH=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\frac{|1\cdot(-2)+9\cdot2+6\cdot(-1)-17|}{1^{2}+9^{2}+6^{2}}=\frac{7}{\sqrt{118}}.
г) Угол между прямыми BD
и AC
равен либо углу между векторами \overrightarrow{BD}=(-2-5;2-2;-1-(-1))=(-7;0;0)
и \overrightarrow{AC}=(3;-3;4)
, либо дополняет этот угол до 180^{\circ}
, поэтому
\cos\alpha=\frac{|\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{BD}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=\frac{|-7\cdot3+0\cdot(-3)+0\cdot4|}{\sqrt{(-7)^{2}+0^{2}+0^{2}}\cdot\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}}=\frac{21}{7\sqrt{34}}=\frac{3}{\sqrt{34}}.
д) Пусть \overrightarrow{n_{1}}=(a_{1};b_{1};c_{1})
— вектор нормали плоскости ACD
. Тогда \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{n_{1}}=0
и \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{n_{1}}=0
, где \overrightarrow{AD}=(-2-(-1);2-2;-1-0)=(-1;0;-1)
и \overrightarrow{AC}=(3;-3;4)
. Из системы
\syst{-a_{1}-c_{1}=0\\3a_{1}-3b_{1}+4c_{1}=0,\\}
полагая a_{1}=3
и c_{1}=-3
, находим, что b_{1}=-1
. Следовательно, в качестве вектора нормали плоскости ACD
можно взять вектор \overrightarrow{n_{1}}=(3;-1;-3)
.
Угол между плоскостями ABC
и ACD
равен либо углу между их векторами нормалей, либо дополняет его до 180^{\circ}
. Следовательно,
\cos\beta=\frac{|\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n_{1}}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\frac{a_{1}a+b_{1}b+c_{1}c}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=
=\frac{|3\cdot1+(-1)\cdot9+(-3)\cdot6|}{\sqrt{9+1+9}\cdot\sqrt{1+36+81}}=\frac{24}{\sqrt{19}\cdot\sqrt{118}}=\frac{24}{\sqrt{2242}}.
е) Через прямую AC
проведём плоскость, параллельную прямой BD
. Уравнение этой плоскости найдём по точке A(-1;2;0)
и вектору \overrightarrow{n_{2}}=(a_{2};b_{2};c_{2})
, перпендикулярному векторам \overrightarrow{AC}=(3;-3;4)
и \overrightarrow{BD}=(-7;0;0)
. Координаты этого вектора найдём из системы
\syst{3a_{2}-3b_{2}+4c_{2}=0\7a_{2}=0.\\}
В качестве такого вектора можно взять вектор \overrightarrow{n_{1}}=(0;4;3)
. Уравнение искомой плоскости имеет вид 0(x+1)+4(y-2)+3(z-0)=0
, или 4y+3z-8=0
.
Расстояние между прямыми BD
и AC
равно расстоянию от любой точки прямой BD
(например, от точки D(-2;2;-1)
), параллельной AC
, до проведённой плоскости (см. задачу 7889), т. е.
d=\frac{|a_{2}\cdot(-2)+b_{2}\cdot2+c_{2}\cdot(-1)+d_{2}|}{{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}=\frac{|4\cdot2+3\cdot(-1)-8|}{{0^{2}+4^{2}+3^{2}}}=\frac{3}{5}.