7379. Противоположные рёбра тетраэдра ABCD
попарно равны (равногранный тетраэдр). Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
— центры вписанных окружностей граней BCD
, ACD
, ABD
и ABC
. Докажите, что противоположные рёбра тетраэдра A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
также попарно равны.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
— центры вписанных окружностей граней BCD
, ACD
, ABD
и ABC
соответственно. Обозначим AB=CD=c
, BC=AD=a
, AC=BD=b
. Все грани тетраэдра ABCD
равны по трём сторонам, значит равны их полупериметры p
и радиусы вписанных окружностей r
. Кроме того, все грани тетраэдра ABCD
равновелики, поэтому попарно равны двугранные углы при его противоположных рёбрах (см. задачу 7677).
Пусть вписанные окружности граней ABD
и ABC
касаются ребра AB
в точках X
и Y
соответственно, а вписанные окружности граней BCD
и ACD
касаются ребра CD
в точках Z
и T
соответственно. Тогда (см. задачу 219)
AX=p-b=BY,~XY=|AB-2AX|=|c-2(p-b)|=|c-a-b-c+2b|=|b-a|,
DZ=p-a=CT,~ZT=|CD-2DZ|=|c-2(p-a)|=|c-a-b-c+2a|=|a-b|.
Пусть двугранные углы при рёбрах AB
и CD
равны \gamma
, а P
— вершина прямоугольника XYPC_{1}
со сторонами C_{1}P=XY=|b-a|
и PY=C_{1}X=r
. Из равнобедренного треугольника PYD_{1}
и прямоугольного треугольника C_{1}PD_{1}
находим, что
PD_{1}=2r\sin\frac{\gamma}{2},~C_{1}D_{1}=\sqrt{PD_{1}^{2}+PC_{1}^{2}}=\sqrt{4r^{2}\sin^{2}\frac{\gamma}{2}+(a-b)^{2}}.
Аналогично
A_{1}B_{1}=\sqrt{4r^{2}\sin^{2}\frac{\gamma}{2}+(a-b)^{2}}.
Следовательно, A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}
. Аналогично A_{1}C_{1}=B_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}=A_{1}D_{1}
. Что и требовалось доказать.