7496. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите расстояние от точки A
до плоскости SBF
, если известно, что стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
Ответ. \sqrt{\frac{3}{13}}
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, M
— точка пересечения его диагоналей AD
и BF
. Тогда M
— середина BF
и OA
, AD\perp BF
, SM
— высота и медиана равнобедренного треугольника SBF
.
AM=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2},~SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
Наклонная AO
делится плоскостью SBF
пополам, значит, точки A
и O
равноудалены от этой плоскости (см. задачу 9180).
Опустим перпендикуляр OH
из точки O
медиану SM
равнобедренного треугольника SBF
. Прямая OH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BF
и SM
плоскости SBF
, значит, OH
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки O
до плоскости SBF
равно длине отрезка OH
.
Из прямоугольного треугольника SOM
находим, что
SM=\sqrt{OM^{2}+SO^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+3}=\frac{\sqrt{13}}{2},
OH=\frac{OM\cdot SO}{SM}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{13}}
(см. задачу 1967).
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 15, с. 53
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(ж), с. 35